Paulo Sérgio Costa Lino – Quora
Elas estão presentes em diversos problemas físicas e matemáticas, sendo os babilônicos os primeiros a resolvê-la através de algumas regras descobertas empiricamente pelos escribas. Sem uma Álgebra consistente, os gregos desenvolveram resoluções usando régua e compasso.
Vejamos alguns problemas envolvendo a equação do segundo grau.
PROBLEMA 1: Determine as dimensões de um retângulo sabendo que a sua área é 24cm224cm2 e o seu perímetro é 20cm20cm
Resolução: Se x e y são as dimensões do retângulo, então 2x+2y=202x+2y=20, de modo que y=10−xy=10−x. Mas a área é xy=2xy=2, de modo que 10x−x2=24⇒x2−10x=−2410x−x2=24⇒x2−10x=−24. Completando quadrados, temos (x−5)2=1(x−5)2=1. Extraindo a raiz quadrada e tomando a raiz positiva obtemos x=6 cm⇒y=4 cmx=6 cm⇒y=4 cm.
PROBLEMA 2: Qual é o polígono regular que possui 170 diagonais?
Resolução: Se n o número de lados desse polígono, ele também possui n vértices. A diagonal é o segmento que liga dois vértices não consecutivos do polígono.
Se A, B, C, etc…, são os vértices do polígono, então AB é um dos lados e AC é uma das diagonais. Além disso, AB = BA, de modo que a ordem do agrupamento é irrelevante, tratando-se de uma combinação simples. Assim, temos Cn,2Cn,2 segmentos. Descontando o número n de lados, temos o número de diagonais desse polígono, ou seja, Cn,2−n=170⇒n!2!(n−2)!−n=170.Cn,2−n=170⇒n!2!(n−2)!−n=170.Simplificando os fatoriais, temos a equação do segundo grau:
n2−3n−340=0n2−3n−340=0
cuja raiz positiva é n=20n=20, ou seja, trata-se do eneágono.
PROBLEMA 3: Um grupo de estudantes decidiram fazer uma excursão no valor promocional de R$ 6000,00. Duas semanas antes da viagem 10 pessoas desistiram do passeio e cada um dos estudantes que ficaram teve que pagar um adicional de R$ 30,00. Use suas habilidades algébricas e determine o número inicial de estudantes dessa excursão.
Seja n o número de estudantes da excursão. Pelo enunciado, 6000n−10−6000n=306000n−10−6000n=30. Simplificando, temos n−(n−10)(n−10)n=1200⇒n2−10n=2000n−(n−10)(n−10)n=1200⇒n2−10n=2000
Trata-se de uma equação do segundo grau. A solução pode ser obtida pela fórmula de Bháskara ou completando quadrados adicionando 25 nos dois lados da equação para obter (n−5)2=2025⇒n−5=45 ⇒ n=50(n−5)2=2025⇒n−5=45 ⇒ n=50, ou seja, 50 alunos organizaram inicialmente a excursão.
PROBLEMA 4: Determine a medida da aresta de um cubo, sabendo que se aumentar em duas unidades a medida da aresta, o seu volume aumenta em 56 unidades cúbicas.
D
Resolução: Seja x a medida da aresta do cubo. Pelo enunciado, (x+2)3−x3=56 ⇒6×2+12x=48(x+2)3−x3=56 ⇒6×2+12x=48. Trata-se de uma equação do segundo grau. Dividindo ambos os lados por 6, temos x2+2x=8 ⇒ (x+1)2=9×2+2x=8 ⇒ (x+1)2=9. Extraindo a raiz quadrada e adotando a raiz positiva segue que x=2x=2.
PROBLEMA 5: Determine a equação geral da equação diferencial d2ydx2−5dydx+6y=0d2ydx2−5dydx+6y=0 sendo y uma função de x.
Resolução: Suponhamos que y=emxy=emx sendo m um parâmetro a ser determinado. Note que y′=memx ⇒ y′′=m2emxy′=memx ⇒ y′′=m2emx
Substituindo na equação diferencial acima e simplificando, obtemos a equação do segundo grau no parâmetro m, ou seja,
m2−5m+6=0⇒m1=2 e m2=3m2−5m+6=0⇒m1=2 e m2=3. Logo, a solução geral é
y=C1e2x+C2e3xy=C1e2x+C2e3x
PROBLEMA 6: (Problema 3 apresentado no meu canal)
Convém mencionar que V′(x)=0V′(x)=0 é uma equação do segundo grau que foi resolvida por fatoração.
o volume máximo é 128 cm3128 cm3. Na figura abaixo apresento algumas caixas construídas recortando quadradinhos de lado x. A segunda caixa tem volume máximo.
